Επανάληψη

Αλέξανδρος Ρέκκας

2025-12-18

Ερώτηση 1

Σενάριο: Προβλέπουμε την “Ετοιμότητα για το Σχολείο” (0=Όχι, 1=Ναι). Το μοντέλο έδωσε: \[log(\frac{p}{1-p}) = -2.50 + 0.40 \cdot (Social\_Skills) + 1.10 \cdot (Attendance)\] (Όπου Attendance: 1 για High, 0 για Low)

Ερώτηση: Ποια είναι η πιθανότητα (P) ετοιμότητας για ένα παιδί με Social Skills = 8 και High Attendance;

α) 0.651
β) 0.862
γ) 0.858
δ) 0.142

Η σωστή απάντηση είναι το (γ)

Υπολογισμός:

$Logit = -2.50 + (0.40 \cdot 8) + (1.10 \cdot 1) = -2.50 + 3.2 + 1.1 = 1.8$
$P = \frac{e^{1.8}}{1 + e^{1.8}} = \frac{6.05}{7.05} \approx 0.858$

Ερώτηση 2

Comparison	Predictor	Estimate	SE	p	Odds Ratio
Ζωγραφική vs Τουβλάκια
	Intercept	-1.20	0.50	.016	0.30
	Gender (Κορίτσι - Αγόρι)	1.10	0.30	<.001	3.00
	Fine_Motor	0.40	0.10	<.001	1.49
	Activity_Level	-0.10	0.10	.317	0.90
Ανάγνωση vs Τουβλάκια
	Intercept	0.50	0.60	.405	1.64
	Gender (Κορίτσι - Αγόρι)	0.40	0.35	.253	1.49
	Fine_Motor	0.05	0.12	.670	1.05
	Activity_Level	-0.80	0.15	<.001	0.45

Ερώτηση 2

Ποιες είναι οι πιθανότητες ένας νέος μαθητής να παίξει με τουβλάκια, να κάνει ζωγραφική, να διαβάσει βιβλίο όταν έχει:

Φύλο: Αγόρι
Λεπτή κινητικότητα: 3
Δραστηριότητα: 9

Τι θα επιλέξει μάλλον το παιδί;

Ερώτηση 3

Σενάριο: Ικανοποίηση (1=Δυσαρεστημένος, 2=Ουδέτερος, 3=Ικανοποιημένος) ως συνάρτηση της υποστήριξης:

Predictor	Estimate
Support	0.6

Τα κατώφλια είναι

Threshold	Estimate
Δυσαρεστημένος	-2.5
Ουδέτερος	3

Ερώτηση 3

Ερώτηση: Ποιες είναι οι πιθανότητες $P(Y=1)$, $P(Y=2)$ και $P(Y=3)$ για το συγκεκριμένο παιδί;

α) $P_1=0.100,\ P_2=0.400,\ P_3=0.500$
β) $P_1=0.083,\ P_2=0.917,\ P_3=0.000$
γ) $P_1 \approx 0.0004,\ P_2 \approx 0.0828,\ P_3 \approx 0.9168$
δ) $P_1 \approx 0.0004,\ P_2 \approx 0.0832,\ P_3 \approx 0.9164$

Η σωστή απάντηση είναι το (γ)

Βήματα Υπολογισμού:

Υπολογισμός Logits ($P \le j$):
- $Logit(P \le 1) = -2.50 - (0.60 \cdot 9) = -7.9$
- $Logit(P \le 2) = 3.00 - (0.60 \cdot 9) = -2.4$
Μετατροπή σε Αθροιστικές Πιθανότητες:
- $P(Y \le 1) = \frac{e^{-7.9}}{1 + e^{-7.9}} \approx \mathbf{0.00037}$
- $P(Y \le 2) = \frac{e^{-2.4}}{1 + e^{-2.4}} \approx \mathbf{0.08316}$
Υπολογισμός Πιθανότητας ανά Κατηγορία:
- $P(Y=1) = P(Y \le 1) = \mathbf{0.00037}$
- $P(Y=2) = P(Y \le 2) - P(Y \le 1) = 0.08316 - 0.00037 = \mathbf{0.08279}$
- $P(Y=3) = 1 - P(Y \le 2) = 1 - 0.08316 = \mathbf{0.91684}$

Ερώτηση 4

Σενάριο: Μοντέλο πρόβλεψης “Κοινωνικής Ωριμότητας” (0-50 μονάδες). Εξίσωση: $Score = 10.0 + 2.5 \cdot (Siblings) - 1.5 \cdot (Screen\_Time) + 3.0 \cdot (Engagement)$

Predictor	Estimate	p-value
Siblings (Αριθμός αδερφών)	2.5	0.040
Screen_Time (Ώρες οθόνης)	-1.5	0.001
Engagement (Εμπλοκή γονέα)	3.0	0.250

Ερώτηση 4

Ερώτηση: Αν ένα παιδί αποκτήσει 2 νέα αδέρφια, πώς αναμένεται να αλλάξει το σκορ του σύμφωνα με το μοντέλο, και είναι αυτό το εύρημα αξιόπιστο;

α) Θα αυξηθεί κατά 2.5 μονάδες και είναι στατιστικά σημαντικό.
β) Θα αυξηθεί κατά 5.0 μονάδες και είναι στατιστικά σημαντικό
γ) Θα αυξηθεί κατά 3.0 μονάδες αλλά δεν είναι σημαντικό.
δ) Θα μειωθεί κατά 5.0 μονάδες και είναι στατιστικά σημαντικό.

Η σωστή απάντηση είναι το (β)

Επεξήγηση: Ο συντελεστής 2.5 αφορά την ύπαρξη ενός αδερφού. Για 2 αδέρφια έχουμε $2.5 \times 2 = 5.0$. Επειδή το $p=0.040 < 0.05$, η επίδραση θεωρείται στατιστικά σημαντική.

Ερώτηση 5

Σε ένα μοντέλο πρόβλεψης της επίδοσης στα μαθηματικά με τη χρήση γραμμικής παλινδρόμησης, το $R^2$ βρέθηκε ίσο με 0.40. Τι σημαίνει αυτό;

α) Το 40% των μαθητών απάντησε σωστά στις ερωτήσεις.
β) Η πρόβλεψη του μοντέλου είναι λάθος στο 40% των περιπτώσεων.
γ) Το 40% της διακύμανσης (διαφορών) στην επίδοση των μαθητών εξηγείται από τις μεταβλητές του μοντέλου.
δ) Υπάρχει 40% πιθανότητα η ηλικία να επηρεάζει τα μαθηματικά.

Η σωστή απάντηση είναι το (γ)

Θυμηθείτε: Το $R^2$ (συντελεστής προσδιορισμού) δείχνει το ποσοστό της μεταβλητότητας της εξαρτημένης μεταβλητής που “ερμηνεύεται” από τους παράγοντες που συμπεριλήφθηκαν στο μοντέλο. Το υπόλοιπο 60% οφείλεται σε παράγοντες που δεν μετρήσαμε.

Ερώτηση 6

Σενάριο: Μοντέλο πρόβλεψης “Επιτυχίας σε Τεστ Γλωσσικής Επάρκειας”.

\[log(\frac{p}{1-p})= -4.0 + 0.5 \cdot (Score)\]

Ερώτηση: Ποια είναι η πιθανότητα επιτυχίας (P) για ένα παιδί που έγραψε Score = 8;

α) 0.00
β) 0.50
γ) 1.00
δ) 0.80

Η σωστή απάντηση είναι το (β)

Βήματα Υπολογισμού:

$Logit = -4.0 + (0.5 \cdot 8) = -4.0 + 4.0 = \mathbf{0}$
$P = \frac{e^{0}}{1 + e^{0}} = \frac{1}{1 + 1} = \mathbf{0.50}$
Θυμηθείτε: Όταν το Logit είναι 0, η πιθανότητα είναι πάντα 50%.

Ερώτηση 7

Σενάριο: Σε ένα μοντέλο λογιστικής παλινδρόμησης για την πρόβλεψη της “Σχολικής Ετοιμότητας”, ο πίνακας αποτελεσμάτων δείχνει ότι η μεταβλητή “Υψηλή Συμμετοχή” έχει Odds Ratio (OR) = 3.00.

Ερώτηση: Ποια είναι η τιμή του συντελεστή Estimate ($\beta$) για τη συγκεκριμένη μεταβλητή στον πίνακα των αποτελεσμάτων;

α) 3.00
β) 0.33
γ) 1.10
δ) -1.10

Η σωστή απάντηση είναι το (γ)

Βήματα Υπολογισμού:

Η σχέση μεταξύ Odds Ratio και συντελεστή $\beta$ είναι: $OR = e^{\beta}$
Για να βρούμε το $\beta$, εφαρμόζουμε τον φυσικό λογάριθμο: $\beta = \ln(OR)$
$\beta = \ln(3.00) \approx \mathbf{1.0986}$ (στρογγυλοποίηση σε 1.10).

Ερώτηση 8

Σενάριο: Προβλέπουμε την “Επιτυχία” (0=Όχι, 1=Ναι). Μεταβλητή: Τύπος Σχολείου (Επίπεδο Αναφοράς: Δημόσιο). Το μοντέλο έδωσε για το Ιδιωτικό Σχολείο: Estimate ($\beta$) = 1.39.

Ερώτηση: Αν αλλάζαμε την ομάδα αναφοράς και θέταμε ως βάση το Ιδιωτικό Σχολείο, ποιο θα ήταν το νέο odds ratio για το Δημόσιο Σχολείο;

α) $e^{1.39}=4$
β) $e^{-1.39}=0.25$
γ) -1.39
δ) 4.00

Η σωστή απάντηση είναι το (β)

Η Μαθηματική Λογική:

Όταν αλλάζουμε την ομάδα αναφοράς σε μία δυαδική μεταβλητή, το Odds Ratio αντιστρέφεται ($1/OR$).
Το odds ratio τώρα είναι $\exp{1.39} = 4$
Όταν αλλάξει το επίπεδο αναφοράς OR=1/4=0.25

Ερώτηση 9

Έχετε ένα μοντέλο που εξηγεί την επίδοση στα μαθηματικά με βάση την ηλικία. Αν προσθέσετε στο μοντέλο τη μεταβλητή “Νούμερο παπουτσιού”, τι θα συμβεί στους δείκτες $R^2$ και $Adjusted R^2$;

α) Θα αυξηθούν και οι δύο, γιατί έχουμε περισσότερη πληροφορία.
β) Θα μειωθούν και οι δύο, γιατί η μεταβλητή είναι άσχετη.
γ) Το $R^2$ θα παραμείνει ίδιο ή θα αυξηθεί ελαφρώς, ενώ το $Adjusted R^2$ θα μειωθεί.
δ) Το $Adjusted R^2$ θα παραμείνει ίδιο ή θα αυξηθεί ελαφρώς, ενώ το $R^2$ θα μειωθεί.

Η σωστή απάντηση είναι το (γ)

Το $R^2$ ανεβαίνει πάντα μαθηματικά όταν προσθέτουμε μεταβλητές, ακόμα κι αν είναι εντελώς άσχετες. Το Adjusted $R^2$ όμως “τιμωρεί” το μοντέλο για κάθε περιττή μεταβλητή που δεν έχει πραγματική ερμηνευτική ισχύ.

Ερώτηση 10

Σενάριο: $$log(\frac{p}{1-p}) = \beta_0 + \beta_1 \cdot X$. Έστω ότι για ένα παιδί, ο υπολογισμός της εξίσωσης δίνει ακριβώς 0.

Ερώτηση: Τι σημαίνει αυτό για την πιθανότητα (P) ετοιμότητας του παιδιού;

α) Η πιθανότητα είναι 0%.
β) Οι συμπληρωματικές πιθανότητες (odds) είναι 0.
γ) Η πιθανότητα είναι 50%.
δ) Η πιθανότητα είναι 100%

Η σωστή απάντηση είναι το (γ)

Για τα odds ισχύει $odds = e^0 = 1$.
Άρα $odds = \frac{p}{1-p}=1$
Η πιθανότητα είναι $p = \frac{1}{1 + 1} = 0.50$.